Question

14．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）＞1且f（x）+f′（x）＞1，f（0）=5，其中f′（x）是f（x）的导函数，则不等式ln[f（x）-1]＞ln4-x的解集为（0，+∞）．

Answer 1

分析 构造函数g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．

解答 解：不等式ln[f（x）-1]＞ln4-x，
即为ln[f（x）-1]+lne^x＞ln4，
即e^x（f（x）-1）＞4，
设g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），
则g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x=e^x[f（x）+f′（x）-1]，
∵f（x）+f′（x）＞1，
∴f（x）+f′（x）-1＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定义域上单调递增，
∵e^xf（x）＞e^x+4，
∴g（x）＞4，
又∵g（0）=e⁰f（0）-e⁰=5-1=4，
∴g（x）＞g（0），
∴x＞0，
∴不等式的解集为（0，+∞）
故答案为：（0，+∞）．

点评 本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．