Question

设函数f(x)=

1

2

x2ex．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[-2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）用求导法则，可得f/(x)=xe x+

1

2

x2e x=

ex

2

x(x+2)，令f′（x）＞0，将解集化为开区间，即为所求的单调增区间再令f′（x）＜0，将解集化为开区间，即为所求的单调减区间；
（2）根据（1）的单调性的结论，求出函数f（x在区间[-2，2]上的最小值，不等式f（x）＞m恒成立，即为函数的最小值要大于m，这样就可求出实数m的取值范围．

解答：解：首先，f/(x)=xe x+

1

2

x2e x=

ex

2

x(x+2)，
令f′（x）=

ex

2

x(x+2)＞0，得x＜-2或x＞0，
故函数的增区间为（-∞，-2）和（0，+∞）
再令f′（x）=

ex

2

x(x+2)＜0，-2＜x＜0，
∴（-2，0）为f（x）的减区间．
（2）由（1）f′(x)=xex+

1

2

x2ex=

ex

2

x(x+2)=0
∴x=0和x=-2为极值点，
∵f(-2)=

2

e2

，f(2)=2e2，f(0)=0，
∴f（x）∈[0，2e²]
因为不等式f（x）＞m恒成立
所以函数f（x）的最小值应大于m
∴m＜0．

点评：本题主要考查利考查了利用导数研究函数的单调性与极值，以及用函数的值域名解决不等式恒成立的条件，属于中档题．导数在函数中的应用是高考考查的重点，应该予以充分重视．