Question

（2012•东城区二模）已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱AA₁⊥底面ABCD，AA₁=2，底面ABCD的边长均大于2，且∠DAB=45°，点P在底面ABCD内运动且在AB，AD上的射影分别为M，N，若|PA|=2，则三棱锥P-D₁MN体积的最大值为

1

3

(

2

-1)

．

Answer 1

分析：画出四棱柱底面四边形的图形，设出角，利用直角三角形求出PN，PM，求出三角形PMN的面积，然后求出体积的表达式，然后求出最大值．

解答：解：由题意画出底面ABCD的图形如图：
设∠NAP=θ，θ∈[0，

π

4

]，则∠PAM=45°-θ，
所以PN=2sinθ，PM=2sin（45°-θ），
∴S△PMN=

1

2

PM•PNsin135°=

2

sinθsin(45°-θ)，
∴VP-D1MN=

1

3

×2×

2

sinθsin(45°-θ)
=

sin2θ

3

-

1-cos2θ

3

=

2

3

sin(2θ+

π

4

)-

1

3

，
因为θ∈[0，

π

4

]，所以当θ=

π

8

时，

2

3

sin(2θ+

π

4

)-

1

3

取得最大值为：

1

3

(

2

-1)．
故答案为：

1

3

(

2

-1)．

点评：本题考查空间几何体的体积的求法，两角和与差的三角函数求解函数的最大值，考查转化思想与计算能力．