Question

已知函数f(x)=2sin(x+

π

6

)-2sin(

π

2

+x)，x∈[

π

2

， π]．
（1）若sinx=

4

5

，求函数f（x）的值；（2）求函数f（x）的值域；（3）求满足f(x)=

3

的自变量x的值．

Answer 1

（1）∵sinx=

4

5

，x∈[

π

2

， π]，
∴cosx=-

3

5

，（2分）
则f(x)=2(

3

2

sinx+

1

2

cosx)-2cosx（6分）
=

3

sinx-cosx=

4

5

3

+

3

5

；（8分）
（2）f(x)=2(

3

2

sinx+

1

2

cosx)-2cosx
=

3

sinx-cosx
=2sin(x-

π

6

)，（10分）
∵

π

2

≤x≤π，
∴

π

3

≤x-

π

6

≤

5π

6

，

1

2

≤sin(x-

π

6

)≤1，
∴函数f（x）的值域为[1，2]；（12分）
（3）由f(x)=

3

得：
sin(x-

π

6

)=

3

2

，x=kπ+(-1)k

π

3

+

π

6

，k∈Z，（14分）
∵x∈[

π

2

， π]，
∴x=

π

2

或x=

5π

6

．（15分）