Question

已知函数f(x)=|x-a|+

1

x

(x＞0)，欲使f(x)≥

1

2

恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先将不等式f(x)≥

1

2

等价转化为|x-a|≥

1

2

-

1

x

，再讨论

1

2

-

1

x

的正负，分别解决恒成立问题，最后将所得结果求并集即可

解答：解：f(x)≥

1

2

?|x-a|≥

1

2

-

1

x

．
当

1

2

-

1

x

≥0，即x≥2时．
a-x≥

1

2

-

1

x

或a-x≤-

1

2

+

1

x

，a≥x-

1

x

+

1

2

或a≤x+

1

x

-

1

2

．
x-

1

x

+

1

2

在[2，+∞）上有最小值2，无最大值，故满足a≥x-

1

x

+

1

2

的a值不存在．
又x+

1

x

-

1

2

的区间（0，1]上单调递减．在[1，+∞）上单调递增，由于x≥2，因此当x=2时x+

1

x

-

1

2

取得最小值，其值为2，因此a≤2．
当

1

x

-

1

2

＜0，即0＜x＜2时，满足不等式|x-a|≥

1

2

-

1

4

的a的取值范围为R．
综上，欲使f（x）≥

1

2

恒成立，则a的取值范围为（-∞，2]

点评：本题考察了利用函数解决不等式恒成立问题的方法，解题时要先将不等式进行等价转化，即将一个恒成立问题转化为几个恒成立问题．