Question

已知函数f(x)=-4cos2x+4

3

asinxcosx+2的图象过点(

π

4

，2

3

)，将f（x）的图象向左平移

π

4

个单位后得到函数y=g（x）图象．
（1）求g（x）的表达式，并求出g（x）的最小正周期；
（2）写出函数g（x）的单调增区间；
（3）求g（x）在[-

π

4

，

π

6

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为4sin（2x-

π

6

），向左平移

π

4

个单位后得到函数y=g（x）=4cos（2x-

π

6

），由此求得函数y=g（x）的最小正周期．
（2）令2kπ-π≤2x-

π

6

≤2kπ，k∈z，解出x的范围，即可得到函数g（x）的单调增区间．
（3）由于g（x）在[-

π

4

，

π

12

]上 单调地增，在[

π

12

，

π

6

] 上单调递减，故函数g（x）的最大值为g（

π

12

），最小值为 g（-

π

4

）和g（

π

6

）中的较小者，从而得到g（x）的值域．

解答：解：（1）把点(

π

4

，2

3

)代入函数f（x）的解析式可得 2

3

=-4cos2

π

4

+4

3

asin

π

4

cos

π

4

+2=2

3

a，∴a=1．
故 f(x)=-4cos2x+4

3

asinxcosx+2=-2（1+cos2x）+2

3

sin2x+2=4（-

1

2

cos2x+

3

2

sin2x）=4sin（2x-

π

6

）．
将f（x）的图象向左平移

π

4

个单位后得到函数y=g（x）=4sin[2（x+

π

4

）-

π

6

]=4cos（2x-

π

6

）．
故函数y=g（x）的最小正周期等于

2π

2

=π．
（2）由 2kπ-π≤2x-

π

6

≤2kπ，k∈z，可得 kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈z，
故函数g（x）的单调增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈z．
（3）由（2）可得g（x）在 [-

π

4

，

π

12

] 上 单调地增，在[-

π

12

，

π

6

]上单调递减，
故函数g（x）的最大值为g（

π

12

）=4cos0=4．
又g（-

π

4

）=4cos（-

π

2

-

π

6

）=4cos

2π

3

=-2，g（

π

6

）=4cos

π

2

=0，
故g（x）的值域为[-2，4]．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换，余弦函数的定义域、值域，属于中档题．