Question

2．函数y=x³（x＞0）的图象在点（a_k，a_k³）处的切线所对应的一次函数的零点为a_k+1，其中k∈N^*．若a₁=2，则a₁+a₃+a₅的值是$\frac{266}{81}$．

Answer 1

分析 先求出函数y=x³（x＞0）在点（a_k，a_k³）处的切线方程，再求出切线方程的零点a_k+1，
根据数列{a_n}的特征，计算出a₁+a₃+a₅的值．

解答 解：∵y=x³（x＞0），
∴y′=3x²，
∴y=x³（x＞0）在点（a_k，a_k³）处的切线方程是：
y-a_k³=3${{a}_{k}}^{2}$（x-a_k），
整理得，3${{a}_{k}}^{2}$x-y-2a_k³=0；
又∵切线方程的零点为a_k+1，
∴a_k+1=$\frac{2}{3}$a_k，
∴{a_n}是首项为a₁=2，公比q=$\frac{2}{3}$的等比数列，
∴a₁+a₃+a₅=2+2×$\frac{4}{9}$+2×$\frac{16}{81}$=$\frac{266}{81}$．
故答案为：$\frac{266}{81}$．

点评 本题考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程的应用问题，也考查了等比数列的应用问题，解题时应注意导数、切线方程和等比数列性质的灵活运用．