Question

【题目】已知函数（）.

（Ⅰ）当时，判断函数的零点个数；

（Ⅱ）若，求的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ） ．

【解析】试题分析：

(1)由导函数结合函数的极值可得函数在内有且只有一个零点；

(2) 构造函数，

若，不符合题意，讨论 可得，

二次构造函数，结合函数的性质可得的最大值为.

试题解析：

（Ⅰ）当时， ，定义域为，

当时， ，所以函数在内无零点；

当时， ，因为， ，所以，说明函数在上单调递减，又，当时， ，所以函数在内有且只有一个零点；

综上，函数的零点个数是1；

（Ⅱ）若，即，设，

若，则当时，显然，故不符合题意，所以.

（），

当时， ，所以在上单调递增；

当时， ，所以在上单调递减；

从而，

由题意可知，所以，

此时，令， ，

可知在上单调增，在上单调减，

所以，故的最大值为.