Question

在△ABC中,设=a,=b,=c.

(1)当△ABC为正三角形时,求证:a·b=b·c=c·a;

(2)若a·b=b·c=c·a,问△ABC是否是正三角形?

Answer 1

(1)证明:不妨设||=||=||=1,

    则·=||||cos60°=,

    同理可得·=,·=,

∴b·(-a)=(-b)·c=(-c)·a.

∴a·b=b·c=c·a.

(2)解:若a·b=b·c=c·a,

    则·=·=·,

∴·=·=·,

    即|a||b|cosC=|b||c|cosA=|a||c|cosB,

    各除以|a||b||c|,得

==,                          ①

由正弦定理可得==,       ②

由①②得==.

∵A、B、C∈(0,π),∴A=B=C,即△ABC为正三角形.