Question

定义在R⁺上的函数f（x），g（x）满足函数f（x）=x²-alnx在[1，2]上为增函数，g（x）=x-a

x

在（0，1）为减函数．
（Ⅰ）求f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）当b＞-1时，若f（x）≥2bx-

1

x2

在x∈（0，1]内恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=2x-

a

x

=

2x2-a

x

，由已知，函数f（x）在[1，2]上为增函数，则f′（x）≥0在[1，2]上恒成立，
即2x²-a≥0在[1，2]上恒成立，即只要a≤2x²在[1，2]上恒成立，（2x²）min=2，∴a≤2
 g′（x）=1-

a

2 x

=

2 x -a

2 x

，g（x）在（0，1）为减函数．则g′（x）≤0在（0，1）恒成立，
即2

x

-a≤0，2

x

≤a恒成立．2

x

＞2，∴a≥2，
所以a=2
所以f（x）=x²-2lnx，g（x）=x-2

x

．
（Ⅱ）f（x）≥2bx-

1

x2

在x∈（0，1]内恒成立，即x²-2lnx≥2bx-

1

x2

在x∈（0，1]内恒成立，
分离b得出b≤

x

2

-

lnx

x

+

1

2x3

，令h（x）=

x

2

-

lnx

x

+

1

2x3

，需b≤h（x）min
求导得出h′（x）=

1

2

-

3

2x4

-

1-lnx

x2

由于x∈（0，1]，所以

3

2x4

＞

3

2

＞

1

2

，

1-lnx

x2

＞0，
从而h′（x）=

1

2

-

3

2x4

-

1-lnx

x2

＜0，
h（x）在（0，1]上单调递减，h（x）≥h（1）=

1

2

+0+

1

2

=1，所以b≤1，又b＞-1，所以1＞b＞-1．