题目内容

已知 $数学公式$ 为奇函数（a，b是常数），且函数f（x）的图象过点 $数学公式$
（1）求f（x）的表达式；
（2）定义正数数列{a_n}， $数学公式$ ，求数列{a_n²}的通项公式；
（3）已知 $数学公式$ ，设S_n为b_n的前n项和，证明： $数学公式$ ．

解：（1） $\text{[math]}$ 为奇函数
∴ $\text{[math]}$ ，
∴a=0
又f（x）过点 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，∴b=1
∴ $\text{[math]}$
（2）∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
∴数列 $\text{[math]}$ 是以2为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列
∴ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
（3）由（2）知： $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）根据所给的函数是一个奇函数，根据奇函数的定义，得到a的值，根据函数过一个定点，把点的坐标代入，利用待定系数法得到结果．
（2）根据条件写出数列的递推式，下面整理数列，通过配凑整理出数列 $\text{[math]}$ 是以2为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列，写出数列通项，变形整理出结果．
（3）根据条件写出新数列的通项，观察新数列分母的结构，整理出可以应用裂项的方法来解题，用裂项做出数列的前n项和，利用分析法写出要证的不等式．
点评：本题考查数列和函数的综合，本题解题的关键是构造正确的新函数，判断出所给的数列是一个特殊的数列，本题是一个可以作为压轴题目出现的题目．