Question

（2013•海淀区二模）已知函数f(x)=1-

cos2x

2 sin(x- π 4 )

．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由分母不为0，得到sin（x-

π

4

）≠0，利用正弦函数的性质即可求出函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）函数解析式第二项分子利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用两角和与差的正弦函数公式化简，约分后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调性即可求出函数的单调递增区间．

解答：解：（I）∵sin（x-

π

4

）≠0，
∴x-

π

4

≠kπ，k∈Z，
则函数的定义域为{x|x≠kπ+

π

4

，k∈Z}；
（II）∵f（x）=1-

cos2x-sin2x

sinx-cosx

=1+（cosx+sinx）=1+sinx+cosx=1+

2

sin（x+

π

4

），
又∵y=sinx的单调递增区间为（2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

），k∈Z，
令2kπ-

π

2

＜x+

π

4

＜2kπ+

π

2

，
解得：2kπ-

3π

4

＜x＜2kπ+

π

4

，
又注意到x≠kπ+

π

4

，
则f（x）的单调递增区间为（2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

），k∈Z．

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，正弦函数的定义域和值域，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．