题目内容
已知数列{an}满足a1=1，且an=
an-1+（
）n（n≥2），且n∈N*），则数列{an}中项的最大值为______．
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
由an=
an-1+（
）n（n≥2），
得：3nan=3n-1an-1+1（n≥2），
即3nan-3n-1an-1=1（n≥2），
所以，{3nan}构成以3a1=3为首项，以1为公差的等差数列．
则3nan=3+（n-1）×1=n+2，
所以，an=
．
令f(x)=
，则f′(x)=
=
=
，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞）上为减函数，
所以，an=
在n=1时有最大值，最大值a1=
=1．
则数列{an}中项的最大值为1．
故答案为1．
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
得：3nan=3n-1an-1+1（n≥2），
即3nan-3n-1an-1=1（n≥2），
所以，{3nan}构成以3a1=3为首项，以1为公差的等差数列．
则3nan=3+（n-1）×1=n+2，
所以，an=
| n+2 |
| 3n |
令f(x)=
| x+2 |
| 3x |
| 3x-(x+2)•3x |
| 32x |
| 3x(-x-1) |
| 32x |
| -x-1 |
| 3x |
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞）上为减函数，
所以，an=
| n+2 |
| 3n |
| 1+2 |
| 3 |
则数列{an}中项的最大值为1．
故答案为1．
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