Question

   已知定义在上的函数满足：，且对于任意实数，

   总有成立.

 （1）求的值，并证明为偶函数；

 （2）若数列满足，求数列的通项公式；  

 （3）若对于任意非零实数，总有.设有理数满足，判断和 的大小关系，并证明你的结论.

Answer 1

解:（1）令，，又，. 

令，得 ，即

    对任意的实数总成立， 为偶函数.                  

（2）令，得 ，，.

   .                                         

令，得，

.                                         

是以为首项，以为公比的等比数列.                           

∴.                                                       

（3）结论：.                                                 

证明：∵时，,

∴，即.

∴令（），故，总有成立.

                                                                       

则.

∴对于，总有成立.                             

∴对于，若，则有成立.

∵，所以可设，其中是非负整数，都是正整数，

则，令，，则.

∵，∴，∴，即.            

∵函数为偶函数，∴.

   ∴.