题目内容

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：对任意m，n∈（-1，1），都有f(m)+f(n)=f(
m+n
1+mn
)，且当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0
（1）试判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）的单调性，并证明之；
（3）求证f(
1
5
)+f(
1
11
)+…+f(
1
n2+3n+1
)＞f(
1
2
)．
（1）令m=n=0得f（0）+f（0）=f（0）?f（0）=0
∴f（-m）+f（m）=f（0）=0?f（-m）=-f（m）
∴f（x）在（-1，1）上是奇函数．
（2）∵f(m)+f(n)=f(
m+n
1+mn
)，
当-1＜m＜n＜1时，
m-n
1-mn
＜0，由条件知f（
m-n
1-mn
）＞0，
即f（m）-f（n）＞0∴f（x）在（-1，1）上是减函数．
（3）证明：∵f(
1
n2+3n+1
)=f（
1
(n+1)(n+2)-1
）=f[
1
n+1
+(
-1
n+2
)
1+(
1
n+1
)(
-1
n+2
) 
]
=f（
1
n+1
）+f（
-1
n+2
）=f（
1
n+1
）-f（
1
n+2
）
∴f(
1
5
)+f(
1
11
)+…+f(
1
n2+3n+1
)
=f（
1
2
）-f（
1
3
）+f（
1
3
）-f（
1
4
）+…+f（
1
n+1
）-f（
1
n+2
）
=f（
1
2
）-f（
1
n+2
）
∵0＜
1
n+2
＜1
∴f（
1
n+2
）＜0
∴f（
1
2
）-f（
1
n+2
）＞f（
1
2
）
∴f(
1
5
)+f(
1
11
)+…+f(
1
n2+3n+1
)＞f(
1
2
)．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
ax+b
1+x2
是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(
1
2
)=
2
5
，
①求函数f（x）的解析式；
②判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性并用定义证明；
③解关于x的不等式f（log2x-1）+f（log2x）＜0．
已知函数f（x）为定义在（-1，1）上的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=2x2-2x，求f（x）在（-1，1）上的解析式．
已知函数f(x)是定义在［-1，1］上的奇函数，且f(1)=1,若m、n∈［-1,1］,m+n≠0,＞0.

(1)证明f(x)在［-1，1］上是增函数；

（2）解不等式f(x+)＜f().

函数f（x）=是定义在（-1，1）的奇函数，且f（）=．
（1）确定f（x）的解析式；
（2）判断函数在（-1，1）上的单调性；
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．
函数f（x）=是定义在（-1，1）的奇函数，且f（）=．
（1）确定f（x）的解析式；
（2）判断函数在（-1，1）上的单调性；
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

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