Question

【题目】已知函数（为常数）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若为整数，函数恰好有两个零点，求的值.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）整数的值为-3，-2，-1.

【解析】

（1）先求导，再讨论参数的正负，进一步判断函数的单调性

（2）通过（1）的结论可判断，代入极值点可求得函数的最大值，根据题意要使最大值大于零才能保证有两个零点，再通过合理赋值可进一步锁定的取值

解：（1），

①当时，，则函数在上单调递增。

②当时，由得，由得，

∴函数在上单调递增，在上单调递减。

（2）①当时，由（1）知函数在上单调递增。

∴函数在上没有两个零点。

②当时，由（1）知函数在上单调递增，在上单调递减。

∴，

设，则函数在上为增函数，

又，

又，

∴函数在上小于0，在上大于0.

即当整数小于或等于负4时，小于0，则函数没有零点.

当整数，-2，-1时，大于0，且，

所以，，

而在上有，则，

∴函数在上有两个零点.

综上所述，函数有两个零点，整数的值为-3，-2，-1.