Question

已知tanα，tanβ是方程x²-5x+6=0的两个实根根，求：2sin²（α+β）-3sin（α+β）cos（α+β）+cos²（α+β）的值．

Answer 1

分析：由韦达定理可得到tanα+tanβ及tanα•tanβ的值，进而可以求出tan（α+β）的值，再将所求值的三角函数式用tan（α+β）表示便可知其值．
（法一）把原式的分母添“1”，并作1=sin²（α+β）+cos²（α+β）的代换，进而求值
（法二）tan（α+β）的值可求α+β，然后代入所求的式子中可求．

解答：解法一：由韦达定理得tanα+tanβ=5，tanα•tanβ=6，
所以tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanα•tanβ

=

5

1-6

=-1．
原式=

2sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)+cos2(α+β)

sin2(α+β)+cos2(α+β)

=

2tan2(α+β)-3tan(α+β)+1

tan2(α+β)+1

=

2×1-3×(-1)+1

1+1

=3
解法二：由韦达定理得tanα+tanβ=5，tanα•tanβ=6，
所以tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanα•tanβ

=

5

1-6

=-1．于是有α+β=kπ+

3

4

π(k∈Z)，原式=2sin2(kπ+

3

4

π)-

3

2

sin(2kπ+

3

2

π)+cos2(kπ+

3

4

π)=1+

3

2

+

1

2

=3

点评：本题考查了方程的根与系数的关系，两角和的正切公式，三角函数的同角平方关系在化简中的技巧：1=sin²θ+cos²θ的应用，特殊角的三角函数值．