Question

如图，已知a⊥α,a⊥b,bα,求证b∥α.

Answer 1

思路分析：要证明b∥α，只需证到b能够在平面α内找到两个不共线的向量线形表示，由已知a⊥α,a⊥b，容易得证.

证明:在α内作不共线向量m,n.

∵a、m、n不共面，∴b=xa+ym+zn.

    两边同乘a,得a·b=x·a·a+y·a·m+z·a·n.

∵a⊥b,a⊥m,a⊥n,

∴a·b=0,a·m=0,a·n=0.

    得x·a·a=0而a≠0,

∴x=0,即b=ym+zn.

∴b、m、n为共面向量.

    又∵bα,∴b∥α.

方法归纳 a·b=0在证明有关垂直直线的共面问题时有重要应用.