题目内容
一个盒子中装有6张卡片，上面分别写着如下6道极限题：①
| lim |
| x→∞ |
| 1 |
| x2 |
| lim |
| x→0 |
| 1 |
| x |
| lim |
| x→∞ |
| x2+1 |
| 3x2+x+2 |
| lim |
| x→1 |
| 1 |
| x2-1 |
| lim |
| x→1 |
| x2+x-2 |
| x-1 |
| lim |
| n→+∞ |
（1）现从盒子中任取两张卡片，求至少有一张卡片上题目极限不存在的概率；
（2）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有极取不存在的题的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．
分析：（I）首先判断①③⑤题极取存在，②④⑥题极限不存在，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从6张卡片中取2张，共有C62种结果，满足条件的事件是至少有一张卡片上题目极限不存在，它的对立事件是极限都存在，根据对立事件的概率公式得到结果．
（II）由题意知抽取次数ξ，则ξ的可能值为1，2，3，4，结合变量对应的事件写出变量的概率，写出分布列，做出数学期望．
（II）由题意知抽取次数ξ，则ξ的可能值为1，2，3，4，结合变量对应的事件写出变量的概率，写出分布列，做出数学期望．
解答：解：（I）由题意知本题是一个古典概型，
∵①③⑤题极取存在，②④⑥题极限不存在，
记事件A为“任取两张卡片，至少有一张卡片上的题目极限不存在”．
试验发生包含的事件是从6张卡片中取2张，共有C62种结果，
满足条件的事件是至少有一张卡片上题目极限不存在，
它的对立事件是极限都存在，
∴根据对立事件的概率公式得到P（A）=1-
=
（2）ξ的可能值为1，2，3，4，
P(ξ=1)=
=
，P(ξ=2)=
•
=
，P(ξ=3)=
•
•
=
P(ξ=4)=
•
•
•
=
．
∴ξ的分布列为
∴Eξ=1×
+2×
+3×
+4×
=
．
∵①③⑤题极取存在，②④⑥题极限不存在，
记事件A为“任取两张卡片，至少有一张卡片上的题目极限不存在”．
试验发生包含的事件是从6张卡片中取2张，共有C62种结果，
满足条件的事件是至少有一张卡片上题目极限不存在，
它的对立事件是极限都存在，
∴根据对立事件的概率公式得到P（A）=1-
| ||
|
| 4 |
| 5 |
（2）ξ的可能值为1，2，3，4，
P(ξ=1)=
| 3 |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 6 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 10 |
| 3 |
| 6 |
| 2 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 20 |
P(ξ=4)=
| 3 |
| 6 |
| 2 |
| 5 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 20 |
∴ξ的分布列为
∴Eξ=1×
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 10 |
| 3 |
| 20 |
| 1 |
| 20 |
| 7 |
| 4 |
点评：本题是离散型随机变量的分布列和期望问题，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，是可以得满分的一道题目．2011年的山东卷又出现了这种题目．
练习册系列答案
相关题目
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的分布列和数学期望.
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
；②
；③
；④
；⑤
；⑥