Question

若定义在（-∞，1）∪（1，+∞）上的函数y=f（x）满足f（x+2）=f（-x），且当x∈（1，+∞）时，f(x)=|

2x-3

x-1

|，则下列结论中正确的是（　　）

• A．存在t∈R，使f（x）≥2在[t-

  1

  2

  ，t+

  1

  2

  ]恒成立
• B．对任意t∈R，0≤f（x）≤2在[t-

  1

  2

  ，t+

  1

  2

  ]恒成立
• C．对任意t∈R^-，f（x）在[t-

  1

  2

  ，t+

  1

  2

  ]上始终存在反函数
• D．对任意t∈R⁺，f（x）在[t-

  1

  2

  ，t+

  1

  2

  ]上始终存在反函数

Answer 1

分析：函数y=f（x）满足f（x+2）=f（-x），得出函数y=f（x）的图象关于x=1对称，根据已知条件作出函数f（x）的图象，如图所示．观察图象利用图解法对选项一一进行验证即可．

解答：解：∵函数y=f（x）满足f（x+2）=f（-x），
∴函数y=f（x）的图象关于x=1对称，
且当x∈（1，+∞）时，f(x)=|

2x-3

x-1

|，
作出函数f（x）的图象，如图所示．观察图象得：
A：不存在t∈R，使f（x）≥2在长度为1的区间上恒成立；故A错．
B：对任意t∈R，0≤f（x）≤2在[t-

1

2

，t+

1

2

]不是恒成立；故B错．
C：任意t∈R^-，f（x）在[t-

1

2

，t+

1

2

]上始终是单调函数，故存在反函数；C正确．
D：对任意t∈R⁺，f（x）在[t-

1

2

，t+

1

2

]上不是始终是单调的，不一定存在反函数；故D错．
故选C．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数对称性的应用、带绝对值的函数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．