Question

（2013•大兴区一模）已知函数f（x）=

2x，0≤x≤ 1 2 2-2x， 1 2 ≤x≤1

，定义f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x））（n≥2，x∈N^*）．把满足f_n（x）=x（x∈[0，1]的x的个数称为函数f（x）的“n-周期点”．则f（x）的2-周期点是

4

；n-周期点是

2ⁿ

．

Answer 1

分析：依题意，可求得f（x）的1-周期点的个数，继而可求得f（x）的2-周期点的个数，从而可类比推理得到f（x）的n-周期点的个数．

解答：解：当x∈[0，

1

2

]时，f₁（x）=2x=x，解得x=0；
当x∈（

1

2

，1]时，f₁（x）=2-2x=x，解得x=

2

3

；
∴f（x）的1-周期点的个数是2；
当x∈[0，

1

4

]时，f₁（x）=2x，f₂（x）=4x=x，解得x=0；
当x∈（

1

4

，

1

2

]时，f₁（x）=2x，f₂（x）=2-4x=x，解得x=

2

5

；
当x∈（

1

2

，

3

4

]时，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=-2+4x=x，解得x=

2

3

；
当x∈（

3

4

，1]时，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=4-4x=x，解得x=

4

5

；
∴f（x）的2-周期点的个数是4；
依此类推，
f（x）的n-周期点的个数是2ⁿ．
故答案为：4，2ⁿ．

点评：本题考查函数的周期性，考查类比推理的应用，对“n-周期点”的理解是关键，也是难点，考查推理与运算能力，属于难题．