Question

已知数列{a_n}满足a₁=-1，an+1=

(3n+3)an+4n+6

n

，数列{b_n}满足bn=

3n-1

an+2

（1）求证：数列{

an+2

n

}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式．
（2）求证：当n≥2时，bn+1+bn+2+…+b2n＜

4

5

-

1

2n+1

（3）设数列{b_n}的前n项和为{s_n}，求证：当n≥2时，sn2＞2(

s2

2

+

s3

3

+…+

sn

n

)．

Answer 1

分析：（1）根据目标，可构造数列{

an+2

n

}，只需对条件an+1=

(3n+3)an+4n+6

n

进行化简，从而求数列{a_n}的通项公式．
（2）利用数学归纳法证明，首先证明n=2时命题成立．假设n=k（k≥2）时命题成立，再证明n=k+1时命题也成立
（3）当n≥2时，bn=sn-sn-1=

1

n

，即sn-

1

n

=sn-1，将其平方，再叠加即可证明．

解答：解：（1）由题意

an+1

n+1

=3

an

n

+

6

n

-

2

n+1

，即

an+1+2

n+1

=3

an+2

n

∴a_n=n•3^n-1-2…（4分）
（2）当n=2时，b3+b4=

1

3

+

1

4

＜

4

5

-

1

5

即n=2时命题成立
假设n=k（k≥2）时命题成立，即

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

2k

＜

4

5

-

1

2k+1

当n=k+1时，

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

＜

4

5

-

1

2k+1

-

1

k+1

+

1

2k+1

+

1

2k+2

=

4

5

-

1

2k+2

＜

4

5

-

1

2k+3

即n=k+1时命题也成立
综上，对于任意n≥2，bn+1+bn+2+…+b2n＜

4

5

-

1

2n+1

…（8分）
（3）bn=

1

n

当n≥2时，bn=sn-sn-1=

1

n

，即sn-

1

n

=sn-1
平方则sn2-

2sn

n

+

1

n2

=sn-12∴sn2-sn-12=

2sn

n

-

1

n2

叠加得sn2-1=2(

sn

2

+

sn

3

+…+

sn

n

)-(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)
∴sn2=2(

s2

2

+

s3

3

+…+

sn

n

)+1-(

1

22

+…+

1

n2

)
∵

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，
∴

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1
∴sn2＞2(

s2

2

+

s3

3

+…+

sn

n

)…（13分）

点评：本题主要考查构造法证明等比数列，从而求出数列的通项，对于不等式的证明由于与自然数有关，故通常可以利用数学归纳法进行证明．