Question

已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1(n≥2)，且a1=5．
（1）若存在一个实数λ，使得数列(

an+λ

2n

)为等差数列，请求出λ的值；
（2）在（1）的条件下，求出数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）根据等差数列的定义建立条件关系即可求出λ的值；
（2）根据等差数列的前n项和S_n．即可求解．

解答：解：（1）假设存在实数λ符合题意．
则

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

必为与n无关的常数，
∵

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

=

an-2an-1-λ

2n

=

2n-1-λ

2n

=1-

1+λ

2n

，
要使

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

是与n无关的常数，则

1+λ

2n

=0，得λ=-1．
故存在实数λ=-1．使得数列{

an+λ

2n

}为等差数列．
（2）由（1）可得

an-1

2n

-

an-1-1

2n-1

=1，
∴d=1，且首项为

a1-1

2

=

4

2

=2，
∴

an-1

2n

=2-(n-1)=n-1，
∴an=(n+1)2n-1(n∈N*)
令bn=(n-1)2n且前n项和为T_n，
∴Tn=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)2n…①
2Tn=2×22+3×23++…+n×2n(n+1)2n-1…②
①-②得-Tn=4+22+23+…+2n-(n+1)2n-1=2+(2+…+2n)+(n-1)2n-1=2^n-1-（n+2）2ⁿ⁺¹=-n•2^n-1，
∴Tn=n•2n-1．
∴Sn=n•2n-1+n

点评：本题主要考查数列的递推公式，以及等差数列数，要求熟练掌握相应的通项公式和前n项和公式，以及利用错位相减法求熟练的和，考查学生的计算能力．