Question

已知函数f（x）=lnx+x²-ax（a∈R）．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）若f（x）≤2x²，求实数a的取值范围；
（III）求证：ln(n+1)＞

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n+1

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）先求出函数定义域，在定义域内解含参的不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0；
（2）函数f（x）≤2x²恒成立，即lnx-x²-ax≤0（x＞0）恒成立．分离变量，得a≥

lnx

x

-x恒成立，则只需a大于等于

lnx

x

-x的最大值即可．用导数可求出

lnx

x

-x的最大值．
（3）构造函数r（x）=lnx-

x-1

x+1

，用导数可判断其在（0，+∞）上单调递增，从而r（x）＞r（1），再令x=1+

1

n

，得到一不等式，n分别取1，2，…，n，再累加即可．

解答：解：f（x）的定义域为（0，+∞）．
（1）f′（x）=

1

x

+2x-a=

2x2-ax+1

x

，令g（x）=2x²-ax+1，则g（0）=1．
①当a≤0时，g（x）＞0，所以f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，若△=a²-8≤0，即0＜a≤2

2

，g（x）≥0，所以f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当a＞0时，若△=a²-8＞0，即a＞2

2

时，令g（x）=0，得x=

a± a2-8

4

＞0，
由g′（x）＜0，即f′（x）＜0，得

a- a2-8

4

＜x＜

a+ a2-8

4

；由g′（x）＞0，即f′（x）＞0，得0＜x＜

a- a2-8

4

或x＞

a+ a2-8

4

．
此时，f（x）的单调减区间是（

a- a2-8

4

，

a+ a2-8

4

），单调增区间（0，

a- a2-8

4

），（

a+ a2-8

4

，+∞）．
综上，当a≤2

2

时，f（x）的单调增区间是（0，+∞）；
当a＞2

2

时，f（x）的单调减区间是（

a- a2-8

4

，

a+ a2-8

4

），单调增区间（0，

a- a2-8

4

），（

a+ a2-8

4

，+∞）．
（2）由f（x）≤2x²，可得lnx-x²-ax≤0（x＞0），则当x＞0时，a≥

lnx

x

-x恒成立，
令h（x）=

lnx

x

-x（x＞0），则h′（x）=

1-lnx

x2

-1=

1-x2-lnx

x2

，
令k（x）=1-x²-lnx（x＞0），则当x＞0时，k′（x）=-2x-

1

x

＜0，所以k（x）在（0，+∞）上为减函数．
又k（1）=0，所以在（0，1）上，h′（x）＞0；在（1，+∞）上，h′（x）＜0．
所以h（x）在（0，1）上为增函数；在（1，+∞）上为减函数．
所以h（x）_max=h（1）=-1，所以a≥-1．
（3）令r（x）=lnx-

x-1

x+1

，则r′（x）=

1

x

-

2

(x+1)2

=

x2+1

x(x+1)2

＞0，所以r（x）在（0，+∞）上单调递增，
当x＞1时，r（x）＞r（1），即lnx-

x-1

x+1

＞0，lnx＞

x-1

x+1

，令x=1+

1

n

，则有ln（1+

1

n

）＞

1+ 1 n -1

1+ 1 n +1

=

1

2n+1

，
故ln（1+1）＞

1

3

，ln（1+

1

2

）＞

1

5

，ln（1+

1

3

）＞

1

7

，…，ln（1+

1

n

）＞

1

2n+1

，累加上式，得ln（n+1）＞

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n+1

．
故ln(n+1)＞

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n+1

（n∈N^*）．

点评：本题主要考察了应用导数求函数的单调区间，最值，以及恒成立问题，利用导数证明不等式，一般要构造函数或者借助前面小题中某个结论．