Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=2，AD=1．
（I）求证：BC⊥平面PAB；
（II）求异面直线PC与AB所成角的余弦值；
（III）在侧棱PA上是否存在一点E，使得平面CDE与平面ADC所成角的余弦值是，若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是梯形，AD∥BC，∠DAB=90°，
∴BC⊥AB
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，
∵PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB；
（Ⅱ）解：以A为原点，分别以AD，AB，AP所在直线x，y，z轴建立空间直角坐标系．

∴A（0，0，0），D（1，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），P（0，0，2）．
∴，．
∴cos===
∴异面直线PC与AB所成角的余弦值是 …（8分）
（Ⅲ）解：假设在侧棱PA上存在一点E，使得平面CDE与平面ADC所成角的余弦值是，
设E（0，0，m）（m＞0），∴，
∴设平面CDE的法向量为，
∴，
∴
令x=2，所以y=-1，z=，∴．
又∵平面ACD的法向量为，
∴cos===，∴m=1
∴点E的坐标是（0，0，1）．
∴在侧棱PA上存在一点E（0，0，1），使得平面CDE与平面ADC所成角的余弦值是．…（14分）
分析：（Ⅰ）证明BC⊥AB，利用PA⊥平面ABCD，证明PA⊥BC，从而可证BC⊥平面PAB；
（Ⅱ）以A为原点，分别以AD，AB，AP所在直线x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得点与向量的坐标，利用向量的夹角公式，即可求异面直线PC与AB所成角的余弦值；
（Ⅲ）假设在侧棱PA上存在一点E，使得平面CDE与平面ADC所成角的余弦值是，求出平面CDE的法向量，平面ACD的法向量为，利用向量的夹角公式，建立方程，即可求得点E的坐标．
点评：本题考查线面垂直，考查线线角，面面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，正确表示向量是关键．