题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（I）求函数F（x）的单调区间；
（II）若以函数y=F（x）（x∈（0，3]）的图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率 $数学公式$ 恒成立，求实数a的最小值；
（III）是否存在实数m，使得函数 $数学公式$ 的图象与函数y=f（1+x²）的图象恰有四个不同的交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

解：（I）∵ $\text{[math]}$ ．
∴F'（x）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，（x＞0）；
∵x＞0；
所以：F'（x）＞0?x＞a．
∴F（x）在（a，+∞）上递增；
F'（x）＜0?0＜x＜a，
F（x）在（0，a）上递减．
所以：函数F（x）的单调增区间为（a，+∞），单调减区间为（0，a）．
（II）因为：F'（x）= $\text{[math]}$ （0＜x≤3），
则k=F'（x₀）= $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ 恒成立；
即a≥- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ +x₀在（0，3]上恒成立，
当x₀= $\text{[math]}$ 时，- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ +x₀取最大值 $\text{[math]}$ ，
∴a≥ $\text{[math]}$ ．
即a的最小值为 $\text{[math]}$ ．
（III） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x²+m- $\text{[math]}$ 的图象与函数y=f（1+x²）=ln（1+x²）的图象恰有四个不同的交点，
即， $\text{[math]}$ x²+m- $\text{[math]}$ =ln（1+x²）有四个不同的根，亦即m=ln（1+x²）- $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ 有四个不同的根；
令G（x）=ln（1+x²）- $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ ；
则G'（x）= $\text{[math]}$ -x= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
当x变化时，G'（x），G（x）的变化情况如下表，

由表格知，G（x）的极小值G（0）= $\text{[math]}$ ，G（x）的极大值G（1）=G（-1）=ln2＞0．
∴m∈（ $\text{[math]}$ ，ln2），y=G（x）与y=m恰有四个不同的交点，
即当m∈（ $\text{[math]}$ ，ln2）时，函数 $\text{[math]}$ 的图象与函数y=f（1+x²）的图象恰有四个不同的交点．
分析：（I）先求出其导函数，根据导函数的正负即可求出其单调区间；
（II）先把问题转化为F'（x₀）= $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ 恒成立；再结合二次函数即可求出结论；
（III）先根据条件把问题转化为m=ln（1+x²）- $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ 有四个不同的根；求出其导函数，找到其极值点，根据极值即可得到结论．
点评：本题主要考察了应用导数求函数的单调区间，极值，最值，以及恒成立问题的判断．