Question

经市场调查，某商品在近100天内其销售量和价格均是相间t的函数，且销售量近似地满足关系：g（t）=-

1

3

t+

109

3

（t∈N*，0＜t≤100）．在前40天内价格为f（t）=

1

4

t+22（t∈N*，0＜t≤40）；在后60天内价格为f（t）=-

1

2

t+52（t∈N*，40＜t≤100）．求这种商品的日销售额的最大值（近似到1）．

Answer 1

分析：先写出前40天内日销售额和后60天内日销售额，得出这种商品的日销售额的函数关系式，再分别求出当0＜t≤40且t∈N*，及当40＜t≤100且t∈N*，此函数的最大值，综上得出这种商品的日销售额的最大值即可．

解答：解：前40天内日销售额为S=（

1

4

t+22）（-

1

3

t+

109

3

）=-

1

12

t²+

7

4

t+799

1

3

，
∴S=-

1

12

（t-10.5）²+

38809

48

．
后60天内日销售额为S=（-

1

2

t+52）（-

1

3

t+

109

3

）=

1

6

t2-

213

6

t+

5668

3，

∴S=

1

6

（t-106.5）²-

25

24

．
函数关系式为S=

- 1 12 (t-10.5)2+ 38809 48 (0＜t≤40，t∈N*) 1 6 (t-106.5)2- 25 24 (40＜t≤100，t∈N*)

由上式可知对于0＜t≤40且t∈N*，当t=10或11时，S_max=809．
对于40＜t≤100且t∈N*，当t=41时，S_max=714
综上得，当t=10或11时，S_max=809．

点评：本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．本题的函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．