Question

已知抛物线y²=4x的焦点为F，直线l过点M（4，0）．
（Ⅰ）若点F到直线l的距离为

3

，求直线l的斜率；
（Ⅱ）设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴重合，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．

Answer 1

（Ⅰ）由已知，x=4不合题意．设直线l的方程为y=k（x-4），
由已知，抛物线C的焦点坐标为（1，0），…（1分）
因为点F到直线l的距离为

3

，
所以

|3k|

1+k2

=

3

，…（3分）
解得k=±

2

2

，所以直线l的斜率为±

2

2

．…（5分）
（Ⅱ）设线段AB中点的坐标为N（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因为AB不垂直于x轴，
则直线MN的斜率为

y0

x0-4

，
直线AB的斜率为

4-x0

y0

，…（7分）
直线AB的方程为y-y0=

4-x0

y0

(x-x0)，…（8分）
联立方程

y-y0= 4-x0 y0 (x-x0) y2=4x

消去x得(1-

x0

4

)y2-y0y+

y

20

+x0(x0-4)=0，…（10分）
所以y1+y2=

4y0

4-x0

，…（11分）
因为N为AB中点，
所以

y1+y2

2

=y0，即

2y0

4-x0

=y0，…（13分）
所以x₀=2．即线段AB中点的横坐标为定值2．…（14分）