Question

在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，-

3

)，(0，

3

)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．
（1）写出C的方程；
（2）设直线y=kx+1与C交于A、B两点，k为何值时

OA

⊥

OB

？

Answer 1

（1）由条件知：P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，
其中c=

3

，a=2，所以b²=a²-c²=4-(

3

)2=1．
故轨迹C的方程为：

y2

4

+x2=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=kx+1 y2 4 +x2=1

?（kx+1）²+4x²=4，即（k²+4）x²+2kx-3=0
由△=16k²+48＞0，可得：

x1+x2=- 2k k2+4 x1x2=- 3 k2+4

，
再由

OA

⊥

OB

?

OA

•

OB

=0?x1x2+y1y2=0，
即（k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
所以

-3(k2+1)

k2+4

-

2k2

k2+4

+1=0，k2=

1

4

?k=±

1

2

．