Question

已知函数f(x)=,x∈［1,+∞).

(1)当a=时,求函数f(x)的最小值;

(2)若对任意x∈［1,+∞),f(x)＞0恒成立,求实数a的取值范围.

Answer 1

解：(1)当a=时,f(x)=x++2,设1≤x₁＜x₂,

则f(x₂)-f(x₁)=x₂+-(x₁+)=.

因为1≤x₁＜x₂,所以x₂-x₁＞0,2x₁x₂-1＞0,2x₁x₂＞0f(x₂)-f(x₁)＞0,

即f(x)在［1,+∞)上单调递增,f(x)_min=f(1)=1++2=.

(2)x∈［1,+∞),f(x)＞0恒成立x²+2x+a＞0恒成立,即a＞-x²-2x恒成立,又y=-x²-2x=

-(x+1)²+1≤-3,所以a＞-3.