题目内容

（理科）过抛物线x²=4y的焦点作直线l交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂=________．

-4
分析：确定抛物线x²=4y的焦点坐标，设过抛物线x²=4y的焦点的直线l的方程为y=kx+1，代入抛物线x²=4y可得²-4kx-4=0，利用韦达定理即可求得结论．
解答：抛物线x²=4y的焦点坐标为（0，1），
设过抛物线x²=4y的焦点的直线l的方程为y=kx+1，代入抛物线x²=4y可得x²=4（kx+1）
即x²-4kx-4=0
∵过抛物线x²=4y的焦点作直线l交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁x₂=-4
故答案为：-4
点评：本题考查抛物线的性质，考查直线与抛物线的位置关系，联立方程，利用韦达定理是关键．

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（文科做（1）（2）（4），理科全做）
已知过抛物线C₁：y²=2px（p＞0）焦点F的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点
（1）证明：y₁y₂=-p²且（y₁+y₂）²=2p（x₁+x₂-p）；
（2）点Q为线段AB的中点，求点Q的轨迹方程；
（3）若x₁=1，x₂=4，以坐标轴为对称轴的椭圆或双曲线C₂过A、B两点，求曲线C₁和C₂的方程；
（4）在（3）的条件下，若曲线C₂的两焦点分别为F₁、F₂，线段AB上有两点C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）（x₃＜x₄），满足：①S△F1F2A-S△F1F2C=S△F1F2D-S△F1F2B，②AB=3CD．在线段F₁ F₂上是否存在一点P，使PD=

，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

如图，已知AB是过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点的弦，F为抛物线的焦点，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
求证：
（1）|AB|=x₁+x₂+p；
（2）y₁ y₂=-p²，x₁ x₂=

；
（3）（理科）直线的倾斜角为θ时，求弦长|AB|．
（3）（文科）当p=2，直线AB的倾斜角为

时，求弦长|AB|．

（理科）过抛物线x²=4y的焦点作直线l交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂=

（理科）过抛物线x²=4y的焦点作直线l交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂=______．