Question

已知a＞0，a≠1，函数f(x)=

ax(x≤1) -x+a(x＞1)

若函数f（x）在[0，2]上的最大值比最小值大

5

2

，则a的值为______．

Answer 1

①当0＜a＜1时，可得
在[0，1]上，f（x）=a^x是减函数；且在（1，2]上，f（x）=-x+a是减函数
∵f（0）=a⁰=1＞-1+a，∴函数的最大值为f（0）=1；
而f（2）=-2+a＜a=f（1），所以函数的最小值为f（2）=-2+a
因此，-2+a+

5

2

=1，解之得a=

1

2

∈（0，1）符合题意；
②当a＞1时，可得
在[0，1]上，f（x）=a^x是增函数；且在（1，2]上，f（x）=-x+a是减函数
∵f（1）=a＞-1+a，∴函数的最大值为f（1）=a
而f（2）=-2+a，f（0）=a⁰=1，可得
i）当a∈（1，3]时，-2+a＜1，得f（2）=-2+a为函数的最小值，
因此，-2+a+

5

2

=a矛盾，找不出a的值．
ii）当a∈（3，+∞）时，-2+a＞1，得f（0）=1为函数的最小值，
因此，1+

5

2

=a，解之得a=

7

2

∈（3，+∞），符合题意．
综上所述，实数a的值为

1

2

或

7

2

故答案为：

1

2

或

7

2