Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x²+y²=4和直线l：x=4，M为l上一动点，A₁，A₂为圆C与x轴的两个交点，直线MA₁，MA₂与圆C的另一个交点分别为P、Q．
（1）若M点的坐标为（4，2），求直线PQ方程；
（2）求证直线PQ过定点，并求出此定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）求出A₁，A₂的坐标，可求直线MA₁的方程、直线MA₂的方程，与圆的方程联立，求出P，Q的坐标，由两点式求直线PQ方程；
（2）设M（4，t），则直线MA₁的方程：y=

t

6

(x+2)，直线MA₂的方程：y=

t

2

(x-2)，分别代入圆的方程，求出P，Q的坐标，分类讨论，确定直线PQ的方程，即可得出结论．

解答：（1）解：当M（4，2），
则A₁（-2，0），A₂（2，0）．
直线MA₁的方程：x-3y+2=0，
解

x2+y2=4 x-3y+2=0

得P(

8

5

，

6

5

)．
直线MA₂的方程：x-y-2=0，
解

x2+y2=4 x-y-2=0

得Q（0，-2），
由两点式可得直线PQ的方程为2x-y-2=0；
（2）证明：设M（4，t），则直线MA₁的方程：y=

t

6

(x+2)，直线MA₂的方程：y=

t

2

(x-2)
由

y= t 6 (x+2) x2+y2=4

得P(

72-2t2

36+t2

，

24t

36+t2

)
由

y= t 2 (x-2) x2+y2=4

得Q(

2t2-8

4+t2

，

-8t

4+t2

)
当t≠±

3

时，kPQ=

8t

12-t2

，
则直线PQ：y+

8t

4+t2

=

8t

12-t2

(x-

2t2-8

4+t2

)
化简得y=

8t

12-t2

x-

8t

12-t2

，恒过定点（1，0）
当t=±

3

时，P(1，±

3

)，Q(1，?

3

)，直线PQ：x=1，恒过定点（1，0）
故直线PQ过定点（1，0）．…（12分）

点评：本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查直线恒过定点，考查学生的计算能力，属于中档题．