Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，Sn+1=4an+1，设bn=an+1﹣2an ． 证明：数列{bn}是等比数列．

Answer 1

【答案】证明：∵Sn+1=4an+1，①
∴当n≥2时，Sn=4an﹣1+1．②
①﹣②，得an+1=4an﹣4an﹣1 ．
∴an+1﹣2an=2（an﹣2an﹣1）．
又bn=an+1﹣2an ， ∴bn=2bn﹣1 ．
∵a1=1，且a1+a2=4a1+1，即a2=3a1+1=4．
∴b1=a2﹣2a1=2，
故数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列
【解析】由递推关系可得：an+1=4an﹣4an﹣1 ． 变形为：an+1﹣2an=2（an﹣2an﹣1）．利用等比数列的递推及其通项公式即可证明．
【考点精析】利用数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．