Question

（2011•徐汇区二模）设函数f（x）=x（

1

2

）^x+

1

x+1

，O为坐标原点，An为函数y=f（x）图象上横坐标为n（n∈N^*）的点，向量

OAn

与向量

i

=（1，0）的夹角为θ_n，则满足tanθ1+tanθ2+…+tanθn＜

5

3

的最大整数n的值为

3

．

Answer 1

分析：由题意，可设An(n，n(

1

2

)n+

1

n+1

)，得到

OAn

=(n，n(

1

2

)n+

1

n+1

)，再由向量

OAn

与向量

i

=（1，0）的夹角为θ_n，解出tanθ_n的关于n的表达式，代入tanθ1+tanθ2+…+tanθn＜

5

3

解出n所满足的条件，判断出符合条件的最大整数n的值

解答：解：由题意An(n，n(

1

2

)n+

1

n+1

)，

OAn

=(n，n(

1

2

)n+

1

n+1

)
又向量

OAn

与向量

i

=（1，0）的夹角为θ_n，
∴tanθ_n=(

1

2

)n+

1

n(n+1)

=(

1

2

)n+

1

n

-

1

n+1

又tanθ1+tanθ2+…+tanθn＜

5

3

∴

1 2 ×[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

+1-

1

n+1

＜

5

3

∴2-(

1

2

)n-

1

n+1

＜

5

3

∴(

1

2

)n+

1

n+1

＞

1

3

，令n=1，2，3，4，分别代入验证知，n可取的最大值为3

点评：本题考查了由向量求夹角，数列的求和，不等式，解题的关键是认真审题得出tanθ_n的表达式，熟练掌握数列求和的技巧也是解题的关键