Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=a（S_n-a_n+1）（a为常数，a≠0，a≠1）．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n²+S_n•a_n，若数列{b_n}为等比数列，求a的值；
（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，，数列{c_n}的前n项和为T_n．求证：T_n＞2n-．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意知a₁=a，S_n=a（S_n-a_n+1），S_n-1=a（S_n-1-a_n-1+1），由此可知a_n=a•a_n-1，，所以a_n=a•a^n-1=aⁿ．
（Ⅱ）由题意知a≠1，，，由此可解得．
（Ⅲ）证明：由题意知，所以=，由此可知T_n＞2n-．
解答：解：（Ⅰ）S₁=a（S₁-a₁+1）
∴a₁=a，．（1分）
当n≥2时，S_n=a（S_n-a_n+1），S_n-1=a（S_n-1-a_n-1+1），
两式相减得：a_n=a•a_n-1，
（a≠0，n≥2）即{a_n}是等比数列．
∴a_n=a•a^n-1=aⁿ；（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a≠1，
，，
若{b_n}为等比数列，则有b₂²=b₁b₃，
而b₁=2a²，b₂=a³（2a+1），b₃=a⁴（2a²+a+1）（6分）
故[a³（2a+1）]²=2a²•a⁴（2a²+a+1），解得，（7分）
再将a=代入得bn=（）ⁿ成立，所以a=．（8分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，
所以==（10分）
所以
T_n=c₁+c₂++c_n+（2-）
=（12分）
点评：本题考查数列知识的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．