Question

在△ABC中，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a，b，c满足b²=a²+c²-ac
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）在区间（0，B）上任取θ，求

2

2

＜cosθ＜1的概率；
（Ⅲ）若AC=2

3

，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosB，将已知等式变形后代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的大小；
（Ⅱ）由

2

2

＜cosθ＜1，得到θ的范围，根据区间（0，

π

3

）上任取θ，即可求出所求的概率；
（Ⅲ）由b与cosB的值，利用余弦定理列出关系式，利用基本不等式变形求出ac的最大值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将ac的最大值代入即可求出三角形ABC面积的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵b²=a²+c²-ac，即a²+c²-b²=ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，
∵B为三角形的内角，
∴B=

π

3

；
（Ⅱ）∵

2

2

＜cosθ＜1，∴θ∈（0，

π

4

），
∴在区间（0，

π

3

）上，

2

2

＜cosθ＜1的概率为

3

4

；
（Ⅲ）∵b=2

3

，cosB=

1

2

，
∴由余弦定理得：12=b²=a²+c²-ac≥ac，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤3

3

，
则△ABC面积的最大值为3

3

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式的运用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．