题目内容

如图，椭圆 $数学公式$ 的顶点为A₁、A₂、B₁、B₂，焦点为F₁，
F₂， $数学公式$ ，
$数学公式$
（1）求椭圆C的方程；
（2）设l是过原点的直线，直线n与l垂直相交于P点，且n与椭圆相交于A，B两点，|OP|=1，求 $数学公式$ 的取值范围．

解：（1）由|A₁B₁|= $\text{[math]}$ ，知a²+b²=7，①
由 $\text{[math]}$ ，知a=2c，②
又b²=a²-c²，③
由①②③解得a²=4，b²=3，故椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
当直线n的斜率不存在时，由对称性取P（1，0），A（1， $\text{[math]}$ ），B（1，- $\text{[math]}$ ），
则 $\text{[math]}$ ．
当直线n的斜率存在时，令AB：y=kx+m，
∵|OP|=1，∴ $\text{[math]}$ ，即m²=1+k²，
∵|OP|=1，∴ $\text{[math]}$ ．
联立 $\text{[math]}$ ，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴ $\text{[math]}$ ，（*）
∴ $\text{[math]}$ ，
将（*）代入并化简得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
由1+k²=m²，得m²≥1，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
综上所述， $\text{[math]}$ 的取值范围是（ $\text{[math]}$ ]．
分析：（1）由|A₁B₁|= $\text{[math]}$ ，知a²+b²=7，由 $\text{[math]}$ ，知a=2c，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），当直线n的斜率不存在时，由对称性取P（1，0），A（1， $\text{[math]}$ ），B（1，- $\text{[math]}$ ），则 $\text{[math]}$ ．当直线n的斜率存在时，令AB：y=kx+m，由|OP|=1，知m²=1+k²， $\text{[math]}$ ．联立 $\text{[math]}$ ，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，再利用韦达定理进行运算能够求出 $\text{[math]}$ 的取值范围．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆、向量的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．