题目内容

已知曲线y=
1x
上一点A（1，1），则该曲线在点A处的切线方程为
 
．
分析：根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可．
解答：解：∵P（1，1）在曲线曲线 y=
1
x
，且y'=-
1
x2

∴在点P（1，1）处的切线的斜率k=y'|x=1=-1；
∴曲线在点P（1，1）处的切线方程为y-1=-（x-1），即x+y-2=0
故答案为x+y-2=0．
点评：此题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”．
练习册系列答案
相关题目
（2013•哈尔滨一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ex．
（ I）若函数φ（x）=f（x）-
x+1x-1
，求函数φ（x）的单调区间；
（Ⅱ）设直线l为函数的图象上一点A（x0，f （x0））处的切线．证明：在区间（1，+∞）上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g（x）相切．
（2013•永州一模）已知函数f（x）=mlnx+
1
x
，（其中m为常数）
（1）试讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（2）令函数h（x）=f（x）+
1
m
lnx-x．当m∈[2，+∞）时，曲线y=h（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2）），使得过P、Q点处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．
定义：已知函数f（x）与g（x），若存在一条直线y=kx+b，使得对公共定义域内的任意实数均满足g（x）≤f（x）≤kx+b恒成立，其中等号在公共点处成立，则称直线y=kx+b为曲线f（x）与g（x）的“左同旁切线”．已知f（x）=Inx，g（x）=1-
1
x

（I）证明：直线y=x-l是f（x）与g（x）的“左同旁切线”；
（Ⅱ）设P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））是函数 f（x）图象上任意两点，且0＜x1＜x2，若存在实数x3＞0，使得f′（x3）=
f(x2)-f(x1)
x2-x1
．请结合（I）中的结论证明x1＜x3＜x2．
（2013•哈尔滨一模）已知函数 f（x）=lnx，g（x）=ex
（1）若函数h（x）=f（x）-
x+1x-1
，求函数h（x）的单调区间；
（2）设直线l为函数f（x） 的图象上的一点 A（x0，f（x0））处的切线，证明：在区间（0，+∞） 上存在唯一的x0，使得直线l 与曲线y=g（x） 相切．
定义：已知函数f（x）与g（x），若存在一条直线y=kx+b，使得对公共定义域内的任意实数均满足f（x）≤g（x）≤kx+b恒成立，其中等号在公共点处成立，则称直线y=kx+b为曲线f（x）与g（x）的“左同旁切线”．已知f（x）=lnx，g（x）=1-
1
x
．
（1）试探求f（x）与g（x）是否存在“左同旁切线”，若存在，请求出左同旁切线方程；若不存在，请说明理由．
（2）设P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））是函数f（x）图象上任意两点，0＜x1＜x2，且存在实数x3＞0，使得f（x3）=
f(x2)-f(x1)
x2-x1
，证明：x1＜x3＜x2．

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