Question

设函数f（x）=a-，
（1）若x∈[，+∞），①判断函数g（x）=f（x）-2x的单调性并加以证明；②如果f（x）≤2x恒成立，求a的取值范围；
（2）若总存在m，n使得当x∈[m，n]时，恰有f（x）∈[2m，2n]，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）①x∈[，+∞）时，g（x）=f（x）-2x=a-．
任取，
=．
∵，∴x₂-x₁0，x₁x₂＞0．
∴g（x₁）-g（x₂）＜0，g（x₁）＜g（x₂）．
∴g（x）在[，+∞）上单调递减．
②f（x）≤2x?g（x）≤0，∵g（x）在[，+∞）上单调递减，
∴，∴．
（2）∵f（x）=a-的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），∴mn＞0
若n＞m＞0，则，且在[m，n]上递增，∴，∴．
∴m，n是的两个根，即2x²-ax+1=0的两个根，
∴，解得．
若m＜n＜0，则f（x）=a+，且在[m，n]上递减，
∴，∴，相减得：mn=，代回得：a=0．
综上所得：a的取值范围是（）∪{0}．
分析：（1）①把f（x）的解析式代入后，直接利用函数的单调性的定义证明；
②由①中的单调性求出g（x）的最大值，由最大值小于等于0求解a的范围；
（2）求出函数的定义域，然后分m，n同正和同负两种情况分析，借助于函数的单调性的方程组，然后再转化为方程的根进行分析．
点评：本题考查了函数的单调性的定义及证明，考查了函数的恒成立问题，体现了数学转化思想方法，在转化过程中一定注意函数的定义域．其中蕴涵了分类讨论思想．是有一定难度题目．