Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足asinC=

3

ccosA，

AB

•

AC

=2．
（Ⅰ）求△ABC的面积；
（Ⅱ）若b=1，求边c与a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由正弦定理得sinAsinC=

3

sinCcosA，可求A，然后由

AB

•

AC

=2，结合向量的数量积的定义可求b•c，代入△ABC的面积为S=

1

2

bcsinA可求
（Ⅱ）由b=1，可求c，由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA即可求a

解答：解：（Ⅰ）∵asinC=

3

ccosA，
由正弦定理得sinAsinC=

3

sinCcosA，…（2分）
∵sinC≠0
∴sinA=

3

cosA，即tanA=

3

，
∴A=60°，…（6分）
由

AB

•

AC

=2得b•c=4，△ABC的面积为S=

1

2

bcsinA=

1

2

×4×

3

2

=

3

．…（8分）
（Ⅱ）因b=1，故c=4，…（10分）
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=1+16-2×1×4×

1

2

=13
∴a=

13

…（12分）

点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式、向量的数量积的定义在求解三角形中的综合应用．