Question

已知函数f（x）=log_a（a-ka^x）（a＞0，且a≠1，k∈R）．
（1）若f（x）的图象关于直线y=x对称，且f（2）=-2log_a2，求a的值．
（2）当0＜a＜1时，若f（x）在[1，+∞）内恒有意义，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由y=log_a（a-ka^x），知a^y=a-ka^x，x=oga

a-ax

k

，所以f（x）的反函数为：y=loga

a-ak

k

．由f（x）的图象关于直线y=x对称，知loga(a-kax)=loga

a-ax

k

恒成立由此能求出a．
（2）由a-ka^x＞0得k＜a^1-x，设g（x）=a^1-x，由于0＜a＜1，知函数g（x）=a^1-x在[1，+∞）上是单调递增函数．所以g（x）_min=a⁰=1，由此能求出k的范围．

解答：解：（1）∵y=log_a（a-ka^x），∴a^y=a-ka^x，∴x=oga

a-ax

k

，
∴f（x）的反函数为：y=loga

a-ak

k

            （4分）
∵f（x）的图象关于直线y=x对称，所以原函数与反函数是同一函数．
∴loga(a-kax)=loga

a-ax

k

恒成立，（6分）
即：a-kax=

a-ax

k

恒成立，（k²-1）a^x+（1-k）a=0恒成立
∴

k2-1=0 1-k=0

，得：k=1，∴f（x）=log_a（a-a^x），（8分）
又∵f（2）=-2log_a2，∴loga(a-a2) =loga

1

4

，∴a-a2=

1

4

，
∴(a-

1

2

)2=0，∴a=

1

2

，（10分）
（2）由a-ka^x＞0得k＜a^1-x，设g（x）=a^1-x，
由于0＜a＜1，∴函数g（x）=a^1-x在[1，+∞）上是单调递增函数．
∴g（x）_min=a⁰=1，
由k＜a^1-x在[1，+∞）上恒成立得k＜1．（15分）

点评：本题考查对数函数的图象和性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．