Question

定义在R上的偶函数满足：①对都有

②当且时，都有，若方程在区间上恰有3个不同实根，实数的取值范围是________．

 

Answer 1

【答案】

【解析】解：∵当x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂时，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，可知函数在[0，3]上单调递增．

又f（x）为偶函数，图象关于y轴（x=0）对称，故在[-3，0]上为减函数．

令x=-3，则由f（x+6）=f（x）+f（3）得f（3）=f（-3）+f（3）=2f（3），故f（3）=0

因为f（x+6）=f（x）+f（3）=f（x）+0=f（x），所以f（x）是周期等于6的周期函数，故函数关于x=6对称，所以f（9）=0，

因为y=f（x）是R上的偶函数，f（-9）=0，f（-3）=0，

因为f（x）在[0，3]上是增函数，所以[0，3]上只有一解为3，对称性[-3，0]只有一解为-3，因为f（x+6）=f（x）+f（3），且f（x）在[0，3]上是增函数，

所以f（x）在[6，9]上是增函数，所以[6，9]上只有一解为9，因为f（x）关于x=6对称，所以f（x）在[3，6]上只有一解为3，

由对称性知[-9，-6]，[-6，-3]各只有一解-9，-3，

要使方程f（x）=0在区间[a，6-a]上恰有3个不同实根，则区间长度6-2a 满足 12≤8-2a＜15，解得-7＜a≤-3．

∴实数a的取值范围是（-7，-3]，

故答案为（-7，-3]．