Question

已知函数f(x)=

ax+1

x+2

，其中a∈R
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在区间（-2，+∞）为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先利用导数的运算性质计算函数f（x）的导函数f′（x），再利用导数的几何意义，计算切线斜率，最后由点斜式写出切线方程即可；
（2）先将函数f（x）在区间（-2，+∞）为增函数问题转化为导函数f′（x）≥0在区间（-2，+∞）上恒成立但不能恒等于0问题，解这个不等式恒成立问题即可得a的取值范围

解答：解：（1）当a=1时，f(x)=

x+1

x+2

f′（x）=

x+2-x-1

(x+2)2

=

1

(x+2)2

∴f′（2）=

1

16

，f（2）=

3

4

∴曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y-

3

4

=

1

16

（x-2）
即x-16y+10=0
（2）f′（x）=

a(x+2)-(ax+1)

(x+2)2

=

2a-1

(x+2)2

∵函数f（x）在区间（-2，+∞）为增函数
∴f′（x）≥0在区间（-2，+∞）上恒成立但不能恒等于0
即

2a-1

(x+2)2

＞0在区间（-2，+∞）上恒成立
只需2×a-1＞0即可
∴a＞

1

2

点评：本题主要考查了导数的几何意义和导数在函数单调性中的应用，导数的四则运算，不等式恒成立问题的解法，转化化归的思想方法