Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=120°，AC=CB=A₁A=1，D₁是A₁B₁上一动点（可以与A₁或B₁重合），过D₁和C₁C的平面与AB交于D．
（Ⅰ）证明BC∥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）若D₁为A₁B₁的中点，求三棱锥B₁-C₁AD₁的体积VB1-C1AD1；
（Ⅲ）求二面角D₁-AC₁-C的取值范围．

Answer 1

分析：（1）欲证CB∥平面AB₁C₁只需寻找在平面AB₁C₁内寻找一直线与CB平行，根据直三棱的定义可知CB∥C₁B₁问题得证；
（2）三棱锥B₁-C₁AD₁的体积VB1-C1AD1，可转化成求三棱锥C₁-B₁AD₁的体积，此时高为C₁D₁；
（3）当D₁与A₁重合时，二面角D₁-AC₁-C的大小为π，当D₁与B₁重合时，分别延长A₁C₁和AC₁，过B₁作B₁E⊥A₁C₁延长于E，过点E作EF⊥A₁C₁，垂直为F，连接FB₁，∠B₁FE是所求二面角的平面角，在三角形B₁FE中求出此角即可．

解答：解：（Ⅰ）证明：依条件有CB∥C₁B₁，
又C₁B₁?平面AB₁C₁，
CB?平面AB₁C₁，
所以CB∥平面AB₁C₁．（3分）
（Ⅱ）解：
因为D为AB的中点，
依条件可知；C₁D₁⊥A₁B₁．
所以VB1-C1AD1
=

1

3

×C₁D₁×（

1

2

×A₁A×D₁B₁）
=

1

3

×

1

2

×（

1

2

×1×

3

2

）=

3

24

．（7分）
（Ⅲ）解：
因为D₁是A₁B₁上一动点，
所以当D₁与A₁重合时，二面角D₁-
AC₁-C的大小为π；（9分）
当D₁与B₁重合时，
如图，分别延长A₁C₁和AC₁，
过B₁作B₁E⊥A₁C₁延长于E，
依条件可知平面A₁B₁C₁⊥平面
ACC₁A₁，
所以B₁E⊥平面ACC₁A₁．
过点E作EF⊥A₁C₁，垂直为F．
连接FB₁，
所以FB₁⊥A₁C₁．
所以∠B₁FE是所求二面角的平面角．（11分）
容易求出B₁E=

3

2

，FE=

2

4

．
所以tan∠B₁FE=

B1E

FE

=

6

．
所以∠B₁FE=arctan

6

．（或arccos

7

7

）
所以二面角D₁-AC₁-C的取值范围是[arctan

6

，π]（或[arccos

7

7

，π]）．（13分）

点评：本小题主要考查直线与平面平行，以及棱柱、棱锥、棱台的体积和二面角及其度量等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．