Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足，S_n=2a_n+（-1）ⁿ，n≥1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：对任意整数m＞4，有

1

a4

+

1

a5

+…+

1

am

＜

7

8

(m＞4)．

Answer 1

分析：（1）由递推式，证明数列{an+

2

3

(-1)n}是以a1+

2

3

(-1)为首项，公比为2的等比数列，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用放缩法，结合等比数列的求和公式，即可证明结论．

解答：（1）解：an=Sn-Sn-1=2an+(-1)n-2an-1-(-1)n-1化简即an=2an-1+2(-1)n-1
即an+

2

3

(-1)n=2[an-1+

2

3

(-1)n-1]
由a₁=1，故数列{an+

2

3

(-1)n}是以a1+

2

3

(-1)为首项，公比为2的等比数列．
故an+

2

3

(-1)n=

1

3

×2n-1即an=

1

3

×2n-1-

2

3

(-1)n=

2

3

[2n-2-(-1)n]
（2）证明：由已知得

1

a4

+

1

a5

+…+

1

am

=

3

2

[

1

22-1

+

1

23+1

+…+

1

2m-2-(-1)n

]=

3

2

[

1

3

+

1

9

+

1

15

+

1

33

+

1

63

+…+

1

2m-2-(-1)m

]=

1

2

(1+

1

3

+

1

5

+

1

11

+

1

21

+…)＜

1

2

(1+

1

3

+

1

5

+

1

10

+

1

20

+…)=

1

2

[

4

3

+

1 5 (1- 1 2m-5 )

1- 1 2

]=

1

2

(

4

3

+

2

5

-

2

5

×

1

2m-5

)=

13

15

-

1

5

(

1

2

)m-5＜

13

15

=

104

120

＜

105

120

=

7

8

故

1

a4

+

1

a5

+…+

1

am

＜

7

8

(m＞4)

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列与不等式的联系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．