Question

已知点M是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点，F₁、F₂分别为C的左、右焦点，|F₁F₂|=4，∠F₁MF₂=60°，△F₁MF₂的面积为

4 3

3

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设N（0，2），过点p（-1，-2）作直线l，交椭圆C异于N的A、B两点，直线NA、NB的斜率分别为k₁、k₂，证明：k₁+k₂为定值．

Answer 1

分析：（I）由余弦定理可得|F1F2|2=|MF₁|²+|MF₂|²-2|MF₁||MF₂|cos60°，结合|F₁F₂|=2c=4，|MF₁|+|MF₂|=2a，求出a²，b²的值，可得椭圆C的方程；
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y+2=k（x+1），与出椭圆方程联立后，利用韦达定理，化简k₁+k₂可得定值；当直线l斜率不存在时，求出A，B两点坐标，进而求出k₁、k₂，综合讨论结果，可得结论．

解答：解：（I）在△F₁MF₂中，由

1

2

|MF₁||MF₂|sin60°=

4 3

3

，得|MF₁||MF₂|=

16

3

．
由余弦定理，得|F1F2|2=|MF₁|²+|MF₂|²-2|MF₁||MF₂|cos60°=（|MF₁|+|MF₂|）²-2|MF₁||MF₂|（1+cos60°）
又∵|F₁F₂|=2c=4，|MF₁|+|MF₂|=2a
故16=4a²-16，
解得a²=8，故b²=a²-c²=4
故椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y+2=k（x+1）
由

x2 8 + y2 4 =1 y+2=k(x+1)

，得（1+2k²）x²+4k（k-2）x+2k²-8k=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

4k(k-2)

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-8k

1+2k2

，
从而k₁+k₂=

y1-2

x1

+

y2-2

x2

=

2kx1x2+(k-4)(x1+x2)

x1x2

=2k-（k-4）

4k(k-2)

2k2-8k

=4．                                                  11分
当直线l斜率不存在时，得A（-1，

14

2

），B（-1，-

14

2

）
此时k₁+k₂=4
综上，恒有k₁+k₂=4．

点评：本题考查椭圆的定义、余弦定理及韦达定理的应用．第一问是利用三角形面积公式、余弦定理、椭圆的定义，三个方程联立，解出a，再根据a，b，c的关系求出b，本问分析已知条件是解题的关键；第二问是直线与椭圆相交于A，B两点，先设出A，B两点坐标，本题的突破口是在消参后的方程中找出两根之和、两根之积，整理斜率的表达式，但是在本问中需考虑直线的斜率是否存在，此题中蕴含了分类讨论的思想的应用．