Question

【题目】如图1，已知等边的边长为3，点，分别是边，上的点，且，.如图2，将沿折起到的位置.

（1）求证：平面平面；

（2）给出三个条件：①；②二面角大小为；③.在这三个条件中任选一个，补充在下面问题的条件中，并作答：在线段上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.注：如果多个条件分别解答，按第一个解答给分

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）要证明平面平面，只需证明平面即可；

（2）选择条件①②③之一，均需建系，算得向量以及平面的法向量，设直线与平面所成角为，利用计算即可.

（1）由已知得，，， ，

解得，故，∴，

∴，，又∵，

∴平面，平面，∴平面平面.

（2）（ⅰ）若用条件①，由（1）得，和是两条相交直线，∴平面.

以为原点，，，分别为轴建立空间直角坐标系.

则，设，其中，则.

平面的法向量为.设直线与平面所成角为，

则，解得，

所以不存在满足条件.

（ⅱ）若用条件②二面角大小为，由（1）得是二面角的平面角，

∴.过作，垂足为，则平面.

在平面中，作，点在的右侧.

以为原点，，，分别为轴建立空间直角坐标系.

则，设，其中，则.

平面的法向量为.设直线与平面所成角为，

则，

解得或（舍去），所以存在满足条件，这时.

（ⅲ）若用条件③，在中，由余弦定理得：

，即，

所以，故.

过作，垂足为，则平面.

同（ⅱ）以为原点，，，分别为轴建立空间直角坐标系.

则，设，其中，则.

平面的法向量为.设直线与平面所成角为，

则，.

解得，所以不存在满足条件.

【点晴】

本题考查面面垂直的判定定理，以及利用向量法求线面角的问题，考查学生数学运算能力，空间想象能力，是一道中档题.