Question

已知对一切实数x，

3x2+2x+2

x2+x+1

恒大于正整数k，则这样的k为

 

．

Answer 1

分析：将分式函数恒成立问题先转化为二次函数的恒成立问题，利用二次函数的函数值恒小于0处理．

解答：解：依题意对?x∈R

3x2+2x+2

x2+x+1

＞ k恒成立
∴3x²+2x+2＞k（x²+x+1）
∴（k-3）x²+（k-2）x+k-2＜0
设函数y=（k-3）x²+（k-2）x+k-2，即y恒小于0
∴

k-3＜0 △=(k-2)2-

4(k-3)(k-2)＜0
解得 k＜2  又k为正整数，
∴k=1
故答案为1．

点评：本题的关键在于“转化”，先将分式函数恒成立转化为二次函数恒成立问题，再利用二次函数性质加以解决，属于基础题．