Question

性质p：对于任意的x，y∈R，都有f(x)+f(y)≥2f(

x+y

2

)．则以下函数中具有性质p的是（　　）

A．y=lgx

B．y=3^-x

C．y=x³

D．y=-x²

Answer 1

分析：当f（x）=lgx时，f（x）+f（y）=lgx+lgy=lgxy≤2f（

x+y

2

）=2lg（

x+y

2

）=lg(

x+y

2

)2；当f（x）=3-x=(

1

3

)x时，f（x）+f（y）=(

1

3

)x+(

1

3

)y≥2

( 1 3 )x+y

=2f（

x+y

2

）；当f（x）=x³时，f（x）+f（y）=x³+y³≤2f（

x+y

2

）=2•(

x+y

2

)3=

(x+y)3

4

；当f（x）=-x²时，f（x）+f（y）=-x²-y²≤2f（

x+y

2

）=-2(

x+y

2

)2=-

(x+y) 2

2

．

解答：解：当f（x）=lgx时，
f（x）+f（y）=lgx+lgy=lgxy，
2f（

x+y

2

）=2lg（

x+y

2

）=lg(

x+y

2

)2，
∵xy≤(

x+y

2

)2，
∴f（x）+f（x）≤2f（

x+y

2

），
故A不具有性质P．
当f（x）=3-x=(

1

3

)x时，
f（x）+f（y）=(

1

3

)x+(

1

3

)y≥2

( 1 3 )x+y

，
2f（

x+y

2

）=2•(

1

3

)

x+y

2

=2

( 1 3 )x+y

，
∴f（x）+f（x）≥2f（

x+y

2

），
故B具有性质P．
当f（x）=x³时，
f（x）+f（y）=x³+y³，
2f（

x+y

2

）=2•(

x+y

2

)3=

(x+y)3

4

，
∴f（x）+f（x）≤2f（

x+y

2

），
故C不具有性质P．
当f（x）=-x²时，
f（x）+f（y）=-x²-y²，
2f（

x+y

2

）=-2(

x+y

2

)2=-

(x+y) 2

2

，
∴f（x）+f（x）≤2f（

x+y

2

），
故D不具有性质P．
故选B．

点评：本题考查不等式的大小比较，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数、幂函数的图象和性质的应用，恰当地运用均值定理和基本不等式进行解题．